ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА

ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА. Пусть  — замкнутая ограниченная область в евклидовом пространстве  и  — функция, определенная в . Во многих задачах математики, а также в приложениях важное значение имеет следующая конструкция. Область  представляется в виде , где   — измеримые непересекающиеся подмножества в , в каждом из  произвольно выбирается точка  и затем рассматривается сумма

,          (*)

в которой  означает меру множества . Эта сумма называется И. с. Особый интерес представляет поведение И. с. при таком изменении разбиения  и сопутствующем этому изменению выборе точек , в котором множества  становятся все более «мелкими». Более точно: рассматривают так называемый диаметр разбиения , равный максимальному из диаметров множеств  (см. Диаметр множества), и изменяют разбиение так, чтобы диаметр разбиения стремился к нулю. Если в таком процессе величина (*) имеет предел, не зависящий от способа измельчения разбиения и выбора точек , то этот предел называется интегралом функции  по множеству  и мере  (см. Интеграл)

И. с. можно рассматривать и в более широком смысле, предполагая, что множество  является произвольным топологическим пространством и что в нем задана мера.