ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Наиболее разработана теория линейных И. у., которые имеют вид:

,            (*)

где  — неизвестная функция,  — точки рассматриваемой области ,  — мера. При этом функция  называется ядром. И. у. такого вида в случае, если область  конечна, а ядро  ограничено, называют уравнением Фредгольма.

Частным случаем их является уравнение Вольтерра:

.

Решения И. у. Фредгольма обладают многими свойствами, аналогичными тем, которые имеют место для решений систем линейных алгебраических уравнений. Соответствующие точные утверждения носят название альтернатив Фредгольма.

В приложениях часто встречаются уравнения вида (*), где , т. е. уравнения с симметрическим ядром. К И. у. может быть сведено решение краевых задач для эллиптических уравнений. Теория И. у. включается в теорию линейных операторов.

К И. у. сводятся некоторые задачи механики и физики, в частности задача о распределении силы, действующей на закрепленную в концах упругую нить, которая под действием этой силы приняла заданную форму.