ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие переменные (неизвестные) под знаком радикала.

Примеры. 1) ; 2) ; 3) .

И. у. могут иметь конечное число решений, могут не иметь решений (множество решений пусто), а могут иметь бесконечное число решений. Например: 1) уравнение имеет два корня (числа 2 и 3); 2) уравнение имеет пустое множество решений. Уравнение же

имеет бесконечное множество (континуум) решений: .

Все радикалы, входящие в И. у., рассматриваются только как арифметические, а решения И. у. — только в поле действительных чисел. При решении И. у. необходимо обращать внимание на понятие равносильных уравнений, на возможность нарушения равносильности уравнений и приобретение лишних (посторонних) корней, а также их потерю.

Методы решения иррациональных уравнений таковы: 1) метод введения вспомогательных переменных (неизвестных), в результате чего решение И. у. сводится к решению систем уравнений, уже не содержащих радикалов, например уравнение 3), рассмотренное выше, заменой переменных ,  сводится к решению системы , , ; 2) метод изолирования (уединения) радикала и возведения обеих частей уравнения в степень, в результате чего приходят к уравнению, не содержащему радикалов или содержащему их меньшее число; 3) метод умножения обеих частей уравнения на выражение, сопряженное одной из его частей.