ЛЕБЕГА МЕРА

ЛЕБЕГА МЕРА множества — важное понятие теории функций действительного переменного, имеющее много приложений в математическом анализе, теории вероятностей и других математических дисциплинах. Объясним Л. м. для одномерных множеств, т. е. введем Л. м. для множеств на действительной прямой. Пусть дано ограниченное множество , т. е. множество  входит в некоторый отрезок . Назовем внешней мерой множества  (обозначение ) нижнюю грань сумм длин интегралов по всем покрытиям множества , т. е.

.

Внутренней мерой множества  (обозначение ) назовем разность длины отрезка  и внешней меры дополнения множества  , т. е.

.

Множество  называется измеримым (по Лебегу), если его внешняя и внутренняя меры совпадают, а общее значение внешней и внутренней меры  называется Л. м. множества . Аналогично определяется Л. м. для множеств в пространствах больших размерностей, чем 1.

Л. м. удовлетворяет свойству счетной аддитивности, т. е. для любой счетной последовательности попарно пересекающихся измеримых множеств  их теоретико-множественное объединение измеримо и равно сумме мер , т. е.

 при  .

Л. м. отрезка равна его длине. Можно показать, что Л. м. является единственной мерой множеств (см. Мера множества) с двумя указанными свойствами. Пример неизмеримого по Лебегу множества строится довольно сложно (с использованием выбора аксиомы, т. е. неэффективно).