ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий линейные преобразования, в основном, в конечномерных линейных пространствах. Первоначальным объектом исследования Л. а. были системы линейных уравнений. Описание свойств и решений системы линейных уравнений потребовало введения и подробного изучения таких понятий, как «матрица», «определитель матрицы», «ранг матрицы», «след матрицы», «линейное преобразование», «матрица линейного преобразования», «умножение и сложение линейных преобразований» (матриц линейных преобразований), «умножение линейного преобразования» (матрицы линейного преобразования) на число, «векторное (линейное) пространство», «вектор», «линейная зависимость векторов», «базис векторного (линейного) пространства», «линейная функция», «линейная форма», «скалярное произведение», «векторное произведение» (в трехмерном евклидовом пространстве) и др.

Последующие задачи Л. а. связаны с изучением полилинейных форм, в частности, квадратичных форм. На этом пути возникли основные понятия и идеи тензорной алгебры и теории инвариантов. Поскольку многие понятия Л. а. (такие, как «вектор», «линейное преобразование», «квадратичная форма» и др.) определяются своими координатами, а эти последующие зависят от базиса исходного линейного пространства, то возникает задача о выборе такого базиса, в котором координаты исследуемого объекта имеют наиболее простой вид (задача о приведении объекта к каноническому виду).

Весьма важным является тот факт, что основные алгебраические объекты (такие, как группа, кольцо и т. п.) могут быть в значительной степени исследованы методами Л. а. Дело в том, что во многих случаях исследуемый алгебраический объект допускает гомоморфное (см. Гомоморфизм) или даже мономорфное отображение в алгебру матриц (или в алгебру линейных преобразований некоторого конечномерного пространства). При этом возникает конкретная модель абстрактного алгебраического объекта, удобная для изучения. На этой основе выросли некоторые важные и глубокие алгебраические теории — в частности, теория представлений групп.

Некоторые разделы Л. а. связаны с изучением бесконечномерных векторных пространств и их обобщений (см. Модуль).

Л. а. как наука о линейных преобразованиях в конечномерных пространствах была обобщена в некоторых разделах функционального анализа, изучающих линейные преобразования в бесконечномерных линейных пространствах.

При рассмотрении гладких отображений , где  и  — области в евклидовых пространствах размерности  и  соответственно,

большую роль играет разложение функций  по степеням  по формуле Тейлора (см. Тейлора формула) в окрестности точки

         (*)

Многоточия в (*) означают функции, бесконечномалые более высокого порядка малости, чем . При , близких к , в правых частях формул (*) слагаемые составляют главную часть  в том смысле, что остальные слагаемые имеют больший порядок малости. При этом отображение

является линейным. Таким образом, анализ этого отображения средствами Л. а. позволяет получить важные сведения и об отображении  (в окрестности особой точки ). Указанное обстоятельство лежит в основе применений Л. а. ко многим важным вопросам анализа бесконечномалых, дифференциальных уравнений: теорема о неявных функциях, теорема об устойчивости решений автономной системы уравнений и др.

В последнее время в связи с запросами практики возникла новая математическая дисциплина — линейное программирование. Теоретической основой линейного программирования является Л. а.