ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ

ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ — функция , определенная для всех векторов некоторого векторного (линейного) пространства , принимающая векторные значения (быть может из другого векторного пространства ), и линейная, т. е. обладающая свойствами:

, ,

где  — произвольные векторы из ,  — произвольное число. Т. е. есть гомоморфизм векторных пространств.

Если пространство  одномерно, то Л. в.-ф. называют линейной формой. Если  совпадает с , то Л. в.-ф. называют также аффиннором. В общей ситуации синонимом Л. в.-ф. является термин линейный оператор.

Если в пространствах  и  выбраны базисы, то всякая Л. в.-ф. может быть определена формулами:

, ,

где  — аргумент Л. в.-ф. , координаты которого в заданном базисе — ,  — значение Л. в.-ф.,  — вектор, координаты которого в заданном базисе  Матрицу  называют матрицей Л. в.-ф.  (в заданных базисах).

Сумме двух Л. в.-ф. соответствует сумма матриц этих Л. в.-ф. При умножении Л. в.-ф. на число  соответствующая ей матрица умножается на то же .

Если Л. в.-ф.  и Л. в.-ф. , то (при выбранных базисах линейных пространств ) Л. в.-ф.  определенной равенствами  для каждого , соответствует произведение матриц , где  — матрицы Л. в.-ф.  и .