ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ векторного пространства  — отображение  такое, что ,  для любых двух  и любого числа  (из того поля, над которым задано ).

Примерами Л. п. являются: 1) Тождественное преобразование пространства ; 2) симметрия евклидова пространства относительно любого подпространства; 3) проекция линейного пространства на подпространство; 4) поворот трехмерного евклидова пространства вокруг прямой, проходящей через начало координат; 5) дифференцирование в пространстве дифференцируемых функций.

Во множестве всех Л. п. пространства  рассматривают операции: 1) сумма двух Л. п.  и ; 2) умножение Л. п.  на число; 3) произведение двух Л. п.  и . Эти операции определены формулами

1) Сумма  и , обозначается .

2) Произведение  на число , обозначается .

3) Произведение Л. п.  и , обозначается .

Если в конечномерном линейном пространстве  выбран базис , то каждому Л. п.  соответствует квадратная матрица (матрица линейного преобразования ),

,

описываемая следующим образом: пусть  — вектор, разложение которого по выбранному базису имеет вид: . Коэффициенты этих разложений при , расположенные в естественном порядке, определяют матрицу Л. п. . При этом сумма Л. п. соответствует сумме матриц, Л. п., умноженному на число, — матрица, умноженная на то же число, произведению Л. п. — произведение матриц. Координаты всякого вектора  в рассматриваемом базисе могут быть получены умножением матрицы Л. п. на столбец координат вектора . Например, Л. п.  с матрицей  в заданном базисе переводит вектор  в вектор :

, ,

т. е. .

Множество всех векторов , для которых , называется ядром Л. п. . Множество всех , таких, что существует  такой, что , называется образом Л. п. . Всякое Л. п. ,  конечномерно, ядро которого состоит из одного нулевого вектора (в этом случае всегда образ Л. п. совпадает со всем ), задает взаимно однозначное отображение  на себя. Такие Л. п. называются невырожденными (в противном случае вырожденными). Матрицы невырожденных Л. п. (в любом базисе) имеют определитель отличный от нуля, и наоборот. Если Л. п.  невырожденно, то существует обратное ему отображение (обозначается ), которое является также Л. п. Матрица Л. п.  является обратной матрицей к . Множество всех невырожденных Л. п. образует группу относительно операции умножения Л. п.

При изменении базиса пространства  матрица Л. п. изменяется по следующим правилам. Если в базисе  Л. п.  соответствовала матрица , а новый базис имеет вид , где  — некоторое Л. п., то в этом новом базисе матрица Л. п.  будет иметь вид , где  — матрица, обратная к матрице  Л. п.  в базисе .

Вопрос о наиболее простом виде заданного Л. п. конечномерного линейного пространства над полем комплексных чисел весьма важен для многих математических задач. Решение этого вопроса см. в Нормальная жорданова форма.

Л. п. рассматриваются также и в бесконечномерных линейных пространствах, обычно в пространствах функций, обладающих тем или другим свойством. Изучение таких Л. п. является важной составной частью функционального анализа. Задание Л. п. в функциональных пространствах часто связано с операциями дифференцирования и интегрирования. Например:

, .

Здесь линейное пространство состоит из всех дважды дифференцируемых функций  от переменного  на отрезке [0, 1],  — заданная интегрируемая функция.

Многие понятия и идеи линейной алгебры, раздела математики, изучающего Л. п. конечномерных пространств, имеют аналогии и в бесконечномерном случае и более общих ситуациях.