- ËÀÃÐÀÍÆÀ ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÀß ÔÎÐÌÓËÀ
- ËÀÃÐÀÍÆÀ ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÛÅ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÛ
- ËÀÃÐÀÍÆÀ ÌÅÒÎÄ
- ËÀÃÐÀÍÆÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
- ËÀÃÐÀÍÆÀ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ËÀÃÐÀÍÆÀ ÔÎÐÌÓËÀ
- ËÀÏËÀÑÀ ÎÏÅÐÀÒÎÐ
- ËÀÏËÀÑÀ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ËÀÏËÀÑÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
- ËÀÏËÀÑÀ ÒÅÎÐÅÌÛ
- ËÀÏËÀÑÀ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ËÀÏËÀÑÀ ÔÎÐÌÓËÀ
- ËÅÁÅÃÀ ÈÍÒÅÃÐÀË
- ËÅÁÅÃÀ ÌÅÐÀ
- ËÅÂÀß ÊÀÑÀÒÅËÜÍÀß
- ËÅÂÀß ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ËÅÆÀÍÄÐÀ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛ
- ËÅÆÀÍÄÐÀ ÑÈÌÂÎË
- ËÅÉÁÍÈÖÀ ÔÎÐÌÓËÀ
- ËÅÊÑÈÊÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÅÒÎÄ
- ËÅÌÌÀ
- ËÅÌÍÈÑÊÀÒÀ
- ËÅÌÓÀÍÀ ÒÎ×ÊÀ
- ËÈ ÃÐÓÏÏÀ
- ËÈÍÅÉÊÀ
- ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
- ËÈÍÅÉÍÀß ÂÅÊÒÎÐ-ÔÓÍÊÖÈß
- ËÈÍÅÉÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
- ËÈÍÅÉÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ
- ËÈÍÅÉÍÀß ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈß
- ËÈÍÅÉÍÀß ÊÎÌÁÈÍÀÖÈß
- ËÈÍÅÉÍÀß ÎÁÎËÎ×ÊÀ
- ËÈÍÅÉÍÀß ÔÎÐÌÀ
- ËÈÍÅÉÍÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ËÈÍÅÉÍÎÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÅ
- ËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
- ËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈÅ
- ËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ
- ËÈÍÅÉÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ËÈÍÅÉÍÛÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
- ËÈÍÅÉÍÛÉ ÎÏÅÐÀÒÎÐ
- ËÈÍÅÉÍÛÉ ÝËÅÌÅÍÒ
- ËÈÍÅÉ×ÀÒÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ËÈÍÅÉ×ÀÒÀß ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜ
- ËÈÍÈÈ ÊÐÈÂÈÇÍÛ
- ËÈÏØÈÖÀ ÓÑËÎÂÈÅ
- ËÈÓÂÈËËß ÒÅÎÐÅÌÀ
- ËÎÁÀ×ÅÂÑÊÎÃÎ ÃÅÎÌÅÒÐÈß
- ËÎÁÀ×ÅÂÑÊÎÃÎ ÌÅÒÎÄ
- ËÎÃÀÐÈÔÌ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈÊÀ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈÐÎÂÀÍÈÅ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÀß ÁÓÌÀÃÀ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÀß ËÈÍÅÉÊÀ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÀß ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÀß ÑÏÈÐÀËÜ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÓÍÊÖÈß
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÒÀÁËÈÖÛ
- ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
- ËÎÃÈÊÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß
- ËÎÆÍÎÃÎ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÏÐÀÂÈËÎ
- ËÎÊÀËÜÍÛÉ ÝÊÑÒÐÅÌÓÌ
- ËÎÊÑÎÄÐÎÌÀ
- ËÎÌÀÍÀß
- ËÎÏÈÒÀËß ÏÐÀÂÈËÎ
- ËÓÄÎËÜÔÎÂÎ ×ÈÑËÎ
- ËÓÏÀ
- ËÓ×
- ËÞÈËÜÅ ÇÀÄÀ×È
- ËßÏÓÍÎÂÀ ÒÅÎÐÅÌÀ
ËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ
ËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ âåêòîðíîãî
ïðîñòðàíñòâà — îòîáðàæåíèå
òàêîå, ÷òî
,
äëÿ ëþáûõ äâóõ
è ëþáîãî ÷èñëà
(èç òîãî ïîëÿ, íàä
êîòîðûì çàäàíî
).
Ïðèìåðàìè Ë. ï. ÿâëÿþòñÿ:
1) Òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà ; 2) ñèììåòðèÿ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà
îòíîñèòåëüíî ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà; 3) ïðîåêöèÿ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íà
ïîäïðîñòðàíñòâî; 4) ïîâîðîò òðåõìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà âîêðóã ïðÿìîé,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; 5) äèôôåðåíöèðîâàíèå â ïðîñòðàíñòâå äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé.
Âî ìíîæåñòâå âñåõ Ë. ï. ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàþò
îïåðàöèè: 1) ñóììà äâóõ Ë. ï.
è
; 2) óìíîæåíèå Ë. ï.
íà ÷èñëî; 3) ïðîèçâåäåíèå äâóõ Ë.
ï.
è
. Ýòè îïåðàöèè îïðåäåëåíû
ôîðìóëàìè
1)
Ñóììà è
, îáîçíà÷àåòñÿ
.
2)
Ïðîèçâåäåíèå íà
÷èñëî
, îáîçíà÷àåòñÿ
.
3)
Ïðîèçâåäåíèå Ë. ï. è
, îáîçíà÷àåòñÿ
.
Åñëè â êîíå÷íîìåðíîì ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå âûáðàí áàçèñ
, òî êàæäîìó Ë. ï.
ñîîòâåòñòâóåò êâàäðàòíàÿ
ìàòðèöà (ìàòðèöà ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
),
,
îïèñûâàåìàÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü — âåêòîð, ðàçëîæåíèå êîòîðîãî ïî âûáðàííîìó
áàçèñó èìååò âèä:
.
Êîýôôèöèåíòû ýòèõ ðàçëîæåíèé ïðè
,
ðàñïîëîæåííûå â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå, îïðåäåëÿþò ìàòðèöó Ë. ï.
. Ïðè ýòîì ñóììà Ë. ï.
ñîîòâåòñòâóåò ñóììå ìàòðèö, Ë. ï., óìíîæåííîìó íà ÷èñëî, — ìàòðèöà, óìíîæåííàÿ
íà òî æå ÷èñëî, ïðîèçâåäåíèþ Ë. ï. — ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö. Êîîðäèíàòû âñÿêîãî
âåêòîðà
â
ðàññìàòðèâàåìîì áàçèñå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû óìíîæåíèåì ìàòðèöû Ë. ï. íà ñòîëáåö
êîîðäèíàò âåêòîðà
.
Íàïðèìåð, Ë. ï.
ñ
ìàòðèöåé
â
çàäàííîì áàçèñå ïåðåâîäèò âåêòîð
â âåêòîð
:
,
,
ò.
å. .
Ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ , äëÿ êîòîðûõ
, íàçûâàåòñÿ ÿäðîì Ë.
ï.
.
Ìíîæåñòâî âñåõ
, òàêèõ, ÷òî ñóùåñòâóåò
òàêîé, ÷òî
, íàçûâàåòñÿ
îáðàçîì Ë. ï.
.
Âñÿêîå Ë. ï.
,
êîíå÷íîìåðíî,
ÿäðî êîòîðîãî ñîñòîèò èç îäíîãî íóëåâîãî âåêòîðà (â ýòîì ñëó÷àå âñåãäà îáðàç Ë.
ï. ñîâïàäàåò ñî âñåì
), çàäàåò âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
íà ñåáÿ. Òàêèå Ë. ï. íàçûâàþòñÿ
íåâûðîæäåííûìè (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûðîæäåííûìè). Ìàòðèöû íåâûðîæäåííûõ Ë. ï.
(â ëþáîì áàçèñå) èìåþò îïðåäåëèòåëü îòëè÷íûé îò íóëÿ, è íàîáîðîò. Åñëè
Ë. ï.
íåâûðîæäåííî,
òî ñóùåñòâóåò îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå (îáîçíà÷àåòñÿ
), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ òàêæå Ë. ï.
Ìàòðèöà Ë. ï.
ÿâëÿåòñÿ
îáðàòíîé ìàòðèöåé ê
. Ìíîæåñòâî âñåõ íåâûðîæäåííûõ Ë. ï.
îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ Ë. ï.
Ïðè èçìåíåíèè áàçèñà ïðîñòðàíñòâà ìàòðèöà Ë. ï.
èçìåíÿåòñÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì. Åñëè â áàçèñå
Ë. ï.
ñîîòâåòñòâîâàëà ìàòðèöà
, à íîâûé áàçèñ èìååò âèä
, ãäå
— íåêîòîðîå Ë. ï., òî â
ýòîì íîâîì áàçèñå ìàòðèöà Ë. ï.
áóäåò èìåòü âèä
, ãäå
— ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå
Ë. ï.
â áàçèñå
.
Âîïðîñ î íàèáîëåå ïðîñòîì âèäå çàäàííîãî Ë. ï. êîíå÷íîìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë âåñüìà âàæåí äëÿ ìíîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷. Ðåøåíèå ýòîãî âîïðîñà ñì. â Íîðìàëüíàÿ æîðäàíîâà ôîðìà.
Ë. ï. ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå è â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, îáû÷íî â ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ òåì èëè äðóãèì ñâîéñòâîì. Èçó÷åíèå òàêèõ Ë. ï. ÿâëÿåòñÿ âàæíîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Çàäàíèå Ë. ï. â ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ÷àñòî ñâÿçàíî ñ îïåðàöèÿìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ. Íàïðèìåð:
,
.
Çäåñü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç
âñåõ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé îò ïåðåìåííîãî
íà
îòðåçêå [0, 1],
— çàäàííàÿ èíòåãðèðóåìàÿ
ôóíêöèÿ.
Ìíîãèå ïîíÿòèÿ è èäåè ëèíåéíîé àëãåáðû, ðàçäåëà ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùåãî Ë. ï. êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ, èìåþò àíàëîãèè è â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå è áîëåå îáùèõ ñèòóàöèÿõ.