ЛОГАРИФМ

ЛОГАРИФМ: 1°. Л. числа по основанию (, ) есть показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число . Следовательно, согласно определению Л. имеем равенство:

где — обозначение Л. числа по основанию (или при основании ). Из указанного выше равенства следует, что число , т. е. при выбранном положительном и не равном единице основании существуют логарифмы только положительных чисел: может быть только положительным. Иначе: Л. числа по основанию (, ) есть решение уравнения .

Если основание логарифма , то логарифм числа называется десятичным Л. и обозначается: (основание 10 в этом случае не пишется, как не пишется, например, показатель квадратного корня).

Если основание логарифма (см. е число), то логарифм числа по основанию называется натуральным Л. и обозначается: .

Всякое положительное число имеет при данном основании единственный Л. Десятичный Л, всякого числа , отличного от числа , где и — целые числа (), есть число иррациональное, точнее, трансцендентное; поэтому в таблицах логарифмов чисел приведены лишь приближенные значения Л. в виде конечной десятичной дроби. Целая часть Л. называется характеристикой, дробная часть — мантиссой.

2°. Л. — логарифмическая функция . Логарифмическая функция по основанию (, ) — функция, обратная показательной: (). Основные свойства логарифмической функции (кратко: логарифма):

1) ;

2) ; ;

3) ;

4) .

Между Л. двух различных систем с .разными основаниями существует зависимость:

, или .

Стоящий в правой части последнего равенства постоянный множитель называется модулем перехода (пересчета) от логарифмов чисел, взятых по основанию , к логарифмам чисел, взятых по другому основанию . Полагая в последней формуле перехода от одной системы логарифмов к другой , получим интересную зависимость:

т. е. числа и являются взаимно обратными; если при этом взять еще условие и (или взять модули этих логарифмов), то будет иметь место также неравенство:

Рассмотренные выше формулы играют определенную роль при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Десятичные Л. называются также бриговыми.

Область определения Л. функции есть множество чисел . График этой функции называется логарифмикой. Логарифмом можно назвать и непрерывную функцию при , удовлетворяющую функциональному уравнению:

, где , .

При изучении теории функций комплексного переменного рассматриваются натуральные Л. комплексных чисел (обозначаются ). В отличие от натуральных Л. действительного аргумента натуральные Л. комплексных чисел являются многозначными, точнее, бесконечнозначными. Имеет место соотношение: , где — модуль числа , , .