- ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА
- ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
- ЛАГРАНЖА МЕТОД
- ЛАГРАНЖА ТЕОРЕМА
- ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ
- ЛАГРАНЖА ФОРМУЛА
- ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР
- ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- ЛАПЛАСА ТЕОРЕМА
- ЛАПЛАСА ТЕОРЕМЫ
- ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ
- ЛАПЛАСА ФОРМУЛА
- ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ
- ЛЕБЕГА МЕРА
- ЛЕВАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ
- ЛЕВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
- ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ
- ЛЕЖАНДРА СИМВОЛ
- ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА
- ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
- ЛЕММА
- ЛЕМНИСКАТА
- ЛЕМУАНА ТОЧКА
- ЛИ ГРУППА
- ЛИНЕЙКА
- ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
- ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА
- ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
- ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
- ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ
- ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА
- ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА
- ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
- ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
- ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
- ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
- ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
- ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
- ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
- ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
- ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ
- ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА
- ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ
- ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД
- ЛОГАРИФМ
- ЛОГАРИФМИКА
- ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ
- ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ БУМАГА
- ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА
- ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
- ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
- ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
- ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
- ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
- ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
- ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПРАВИЛО
- ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
- ЛОКСОДРОМА
- ЛОМАНАЯ
- ЛОПИТАЛЯ ПРАВИЛО
- ЛУДОЛЬФОВО ЧИСЛО
- ЛУПА
- ЛУЧ
- ЛЮИЛЬЕ ЗАДАЧИ
- ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ функции — общее
название для локального максимума и локального минимума. Пусть — дифференцируемая в интервале
функция.
Точка
называется
локальным максимумом функции
, если существует
такая окрестность
точки
, что
для всех
. Аналогично определяется локальный
минимум.
Необходимым условием Л. э. является следующее:
( — значение производной
функции
в точке
).
В
точке локального максимума производная меняет знак при переходе
слева направо через точку
— с плюса на
минус.
В точке локального минимума производная
меняет знак с минуса на плюс (предполагается, что непрерывна).
Указанные выше условия являются достаточным признаком существования Л. э.
Если обладает второй производной, то
достаточный признак существования Л. э. может быть сформулирован в терминах
второй производной: если
и
, то
— локальный максимум; если
,
, то
— локальный минимум.
В некоторых задачах, связанных с Л. э.,
бывает удобен следующий достаточный признак существования Л. э.: если ,
и
— четное число, то при
,
— локальный максимум, а при
,
— локальный минимум (здесь
i-я производная
функции
,
предполагается
раз дифференцируемой).
Следует заметить, что признаки,
описанные выше, справедливы лишь для функций, дифференцируемых требуемое число
раз во всех внутренних точках рассматриваемого отрезка и только для тех точек , которые являются внутренними
точками отрезка
.
Для нахождения абсолютного экстремума
функции на
отрезке
следует
рассмотреть: 1) все точки отрезка, значение производной в которых равно нулю
(стационарные точки); 2) граничные точки отрезка; 3) все точки отрезка,
значение производной в которых не определено. Выделив затем из множества
стационарных точек точки Л. э. требуемого вида, следует сравнить между собой
числа
,
, где
— множество точек, объединяющее
множество Л. э. исследуемого вида, множество точек, в которых не существует
, и две граничные точки
. Максимальное из чисел
определит абсолютный
максимум функции
на
отрезке
— точку
(может быть, не единственную),
минимальное из чисел
укажет абсолютный
минимум функции
на
отрезке
— точку
(тоже,
возможно, не единственную).
Понятие Л. э. рассматривают и для
функции нескольких
переменных. Пусть точка
— внутренняя точка области
, в которой задана
функция
. Если
существует такая окрестность
точки
, что
для всех
, то
называется
локальным минимумом; если в некоторой окрестности
точки
, то
— локальный
максимум. Если функция
дифференцируема
в точке
(являющейся внутренней
точкой
), то
необходимые условия существования в этой точке Л. э. имеют вид:
(*)
Достаточное условие существования Л. э.
в точке в случае непрерывности вторых
частных производных функции
двух переменных
формулируется следующим образом:
если в точке
имеют место соотношения
(*), то при
,
точка
есть локальный минимум, при
,
локальный максимум. Здесь
означает определитель
матрицы
,
составленной из значений вторых частных производных функции
в точке
:
,
.
Аналогично случаю одного переменного вычисление
абсолютных экстремумов непрерывной функции
на
множестве
(замкнутом
и ограниченном) сводится к анализу точек локальных экстремумов, точек границы
области
и точек, в которых
недифференцируема.