ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ функции — общее название для локального максимума и локального минимума. Пусть  — дифференцируемая в интервале  функция. Точка  называется локальным максимумом функции , если существует такая окрестность  точки , что  для всех . Аналогично определяется локальный минимум.

Необходимым условием Л. э. является следующее:

( — значение производной функции  в точке ).

В точке локального максимума производная  меняет знак при переходе  слева направо через точку  — с плюса на минус.

В точке локального минимума производная меняет знак с минуса на плюс (предполагается, что  непрерывна).

Указанные выше условия являются достаточным признаком существования Л. э.

Если  обладает второй производной, то достаточный признак существования Л. э. может быть сформулирован в терминах второй производной: если  и , то  — локальный максимум; если , , то  — локальный минимум.

В некоторых задачах, связанных с Л. э., бывает удобен следующий достаточный признак существования Л. э.: если ,  и  — четное число, то при ,  — локальный максимум, а при ,  — локальный минимум (здесь  i-я производная функции ,  предполагается  раз дифференцируемой).

Следует заметить, что признаки, описанные выше, справедливы лишь для функций, дифференцируемых требуемое число раз во всех внутренних точках рассматриваемого отрезка и только для тех точек , которые являются внутренними точками отрезка .

Для нахождения абсолютного экстремума функции  на отрезке  следует рассмотреть: 1) все точки отрезка, значение производной в которых равно нулю (стационарные точки); 2) граничные точки отрезка; 3) все точки отрезка, значение производной в которых не определено. Выделив затем из множества стационарных точек точки Л. э. требуемого вида, следует сравнить между собой числа , , где  — множество точек, объединяющее множество Л. э. исследуемого вида, множество точек, в которых не существует , и две граничные точки . Максимальное из чисел  определит абсолютный максимум функции  на отрезке  — точку  (может быть, не единственную), минимальное из чисел  укажет абсолютный минимум функции  на отрезке  — точку  (тоже, возможно, не единственную).

Понятие Л. э. рассматривают и для функции  нескольких переменных. Пусть точка  — внутренняя точка области , в которой задана функция . Если существует такая окрестность  точки , что  для всех , то  называется локальным минимумом; если в некоторой окрестности  точки  , то  — локальный максимум. Если функция  дифференцируема в точке  (являющейся внутренней точкой ), то необходимые условия существования в этой точке Л. э. имеют вид:

  (*)

Достаточное условие существования Л. э. в точке  в случае непрерывности вторых частных производных функции  двух переменных  формулируется следующим образом: если в точке  имеют место соотношения (*), то при ,  точка  есть локальный минимум, при ,  локальный максимум. Здесь  означает определитель матрицы , составленной из значений вторых частных производных функции  в точке : , .

Аналогично случаю одного переменного вычисление абсолютных экстремумов непрерывной функции  на множестве  (замкнутом и ограниченном) сводится к анализу точек локальных экстремумов, точек границы области  и точек, в которых  недифференцируема.