МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА — раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и исследования статистических данных для научных и практических выводов.

М. с. изучает множество объектов, называемых статистическими совокупностями. При этом статистическая совокупность разбивается на группы объектов, каждая из которых состоит из объектов с данным характеристическим свойством (признаком). Вычисляется количество объектов в группе, изучается распределение количественных признаков по группам. Одной из центральных задач М. с. является описание этого распределения (или его характеристик) для большой статистической совокупности (генеральной совокупности) по распределению малой статистической совокупности (выборки), случайно отобранной из генеральной совокупности (см. Выборочный метод).

Теоретической основой М. с. является теория вероятностей. Связь между М. с. и теорией вероятностей в большой степени основана на законах больших чисел. Так, основное понятие теории вероятностей — вероятность случайного события может быть с большой степенью точности и надежности вычислена чисто статистическими методами: , где — количество независимых испытаний, в которых событие может наступить, a — количество наступлений события в серии из испытаний, велико (см. Бернулли закон).

Иногда из общих соображений бывает заранее известен вид распределения изучаемой генеральной совокупности. Например, при соблюдении некоторых весьма общих условий, формулируемых в центральной предельной теореме, можно считать, что генеральная совокупность распределена нормально (см. Нормальное распределение).

В этих случаях актуальны задачи о нахождении параметров распределения по выборочным данным.

Большое место в М. с. занимает задача об изучении распределения генеральной совокупности, а также следующий частный случай.

Пусть генеральная совокупность распределена по некоторому закону , нам неизвестному. При этом есть основания предполагать, что генеральная совокупность распределена по некоторому закону . Возьмем выборку из этой генеральной совокупности и поставим вопрос о вероятности того, что выборочные данные противоречат нашей гипотезе (состоящей в том, что генеральная совокупность распределена по закону ).

Такие задачи решаются с помощью так называемых критериев согласия (гипотезы с выборочными данными). Наиболее известными из критериев согласия являются «хи-квадрат»-критерий Пирсона, критерий Колмогорова и др.

Методы М. с. позволяют в известной степени оценить зависимость случайных величин по выборочным данным (Корреляционный анализ), построить функциональную зависимость, приближающую данную корреляционную зависимость между, случайными величинами (факторами) (Регрессионный анализ, см. Метод наименьших квадратов), выделить среди случайных ошибок наблюдений так называемые систематические (Дисперсионный анализ). Эксперименты в различных науках — физике, химии, биологии, медицине и др. – обладают тем общим свойством, что на их результат влияют не только факторы, регулируемые экспериментом, но еще и огромное множество случайных факторов. Результат эксперимента, следовательно, обычно является случайной величиной. Задача ученого — увидеть за случайными колебаниями действие причинного закона. Применяемые при этом приемы могут быть общими для различных наук. Эти приемы и изучаются М. с.

Пусть, например, результат эксперимента есть случайная величина , результат эксперимента есть случайная величина (скажем, есть урожай при применении агротехнического комплекса , — урожай при применении комплекса ). Мы хотим выяснить, можно ли считать, что , где — знак математического ожидания, т. е. что комплексы и в среднем обеспечивают одинаковую урожайность. Для этого нужно проверить гипотезу .

В последние годы развивается общая теория статистических решений, тесно связанная с так называемой теорией игр. Эта теория рассматривает следующую общую задачу. Предположим, что результат опыта зависит от неизвестного для статистика состояния изучаемой системы . Статистик наблюдает результаты опытов и принимает по ним решение . Если система находится в состоянии , а статистик принял решение , то он несет потери (выраженные, скажем, в деньгах). Например, пусть мы изучаем работу какого-нибудь автомата, производящего детали заданного размера. Система имеет два состояния: — автомат налажен правильно и — произошла разладка деталей. Решений можно принять тоже два: — продолжать производство, — остановить автомат для наладки. Функция потерь дается равенствами: , , a — стоимость брака, — стоимость лишней наладки. Ставится задача, как должен действовать статистик, чтобы математическое ожидание потерь было минимальным.