МЁБИУСА ЛИСТ

МЁБИУСА ЛИСТ — поверхность (рис. 4, а), получающаяся при склеивании противоположных сторон  и  прямоугольник  (рис. 4, б) так, что точка  совпадает с точка , точка  совпадает с  и сторона  совпадает с  всеми своими точками.

М. л. — односторонняя поверхность. Если рассмотреть какую-либо «окружность» с указанным на ней направлением обхода и двигать ее по М. л,, не пересекая его границы, то можно привести «окружность» в первоначальное положение, но при этом направление обхода ее изменится на противоположное.

Рис. 4

Если М. л. разрезать по «средней» линии, то он не распадется на две части, то получится двусторонняя поверхность с двумя граничными линиями, которая может быть получена из прямоугольной ленты уже путем двукратного перекручивания. М. л. впервые был изучен независимо друг от друга немецкими математиками А. Мёбиусом и И. Листингом, как пример односторонней, поверхности.

М. л. является простейшим примером нетривиального расслоения (косого произведения). Более точно: пространство  расслоения является М. л.; база  расслоения — гомеоморфна окружности, при этом  можно считать вложенной в  так, что образом вложения является линия , свернутая в окружность.

Слоем  расслоения над точкой  является множество точек отрезка, перпендикулярного линии  и проходящего через . Проекция  переводит каждый слой в соответствующую ему точку базы.

М. л., т. е. пространство , можно покрыть двумя окрестностями , гомеоморфными евклидову квадрату. Их пересечение  состоит из двух частей: . При этом отображение , где  (циклическая группа второго порядка) устроено так:  отображается в единицу группы ,  — в единственный нетривиальный элемент  группы . При этом  действует на слой (отрезок) как симметрия относительно середины. Отображение  «склеивает» прямое произведение  с прямым произведением  послойно в соответствии с действием  на слой над .