- МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
- МАЖОРАНТА
- МАКЛОРЕНА РЯД
- МАКСИМУМ ФУНКЦИИ
- МАНТИССА
- МАРКОВА НЕРАВЕНСТВО
- МАРКОВА ПРОЦЕССЫ
- МАРКОВА ЦЕПИ
- МАСКЕРОНИ ПОСТРОЕНИЯ
- МАТЕМАТИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ
- МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
- МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ
- МАТРИЦА
- МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
- МАТРИЦА СИСТЕМЫ
- МЕДИАНА
- МЕДИАТРИСА ОТРЕЗКА
- МЕЖДУ ЛЕЖАТЬ
- МЕНЕЛАЯ ТЕОРЕМА
- МЕНЬЕ ТЕОРЕМА
- МЕРА МНОЖЕСТВА
- МЕРАНСКАЯ ПРОГРАММА
- МЕРОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ
- МЕРСЕННА ЧИСЛА
- МЕТОД ГРАНИЦ
- МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
- МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
- МЕТРИКА
- МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
- МЕЦИЕВО ЧИСЛО
- МЁБИУСА ЛИСТ
- МЁБИУСА ФУНКЦИЯ
- МИКРОКАЛЬКУЛЯТОР
- МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- МИНИМУМ ФУНКЦИИ
- МИНКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО
- МИНОР
- МИНУС
- МИНУТА
- МНИМАЯ ЕДИНИЦА
- МНИМАЯ ЧАСТЬ
- МНИМОЕ ЧИСЛО
- МНОГОГРАННИК
- МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ
- МНОГОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ
- МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- МНОГООБРАЗИЕ
- МНОГОСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ
- МНОГОУГОЛЬНИК
- МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- МНОГОЧЛЕН
- МНОГОЧЛЕН ДЕЛЕНИЯ КРУГА
- МНОГОЧЛЕН НУЛЕВОЙ СТЕПЕНИ
- МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
- МНОЖЕСТВО
- МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
- МНОЖИТЕЛЬ
- МОДЕЛЬ
- МОДЕЛЬ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
- МОДУЛЬ
- МОЛЬВЕЙДЕ ФОРМУЛЫ
- МОМЕНТ
- МОНОТОННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- МОНОТОННО ВОЗРАСТАЮЩАЯ
- МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД
- МОРА-МАСКЕРОНИ ПОСТРОЕНИЯ
- МОРГАНА (де МОРГАНА) ЗАКОНЫ
- МОРЛИ ТЕОРЕМА
- МОРСА ТЕОРИЯ
- МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
- МУАВРА ФОРМУЛА
- МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА
- МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ — метод решения
следующей задачи: в евклидовом пространстве , точки которого обозначаются
, задано множество
из
точек
,
. Рассматривается класс
функций
, где
— параметры,
выделяющие конкретную функцию из класса
. Требуется найти такую функцию
, чтобы ее
значения в точках
отклонялись
от соответствующих
«как
можно меньше». Точный смысл последнего требования таков: найти значения
параметров
такие,
чтобы функция
имела
в точке минимум.
График функции будет при этом в известном
смысле наилучшим образом приближать систему точек
.
Указанная задача, естественно, возникает
при вычислении функции, описывающей какое-либо явление, по наблюдаемым
значениям точки множества и при том (заранее известном) условии, что
искомая функция принадлежит классу
. (Наблюдаемые значения при этом
рассматриваются как возмущенные истинные значения, характеризующие данное
явление.)
Простейшей задачей, решаемой по М. н.
к., является следующая: на плоскости дано множество из
точек:
,
. Требуется вычислить линейную функцию
(т. е. найти
и
) так, чтобы функция
достигала
в точке своего минимума.
Решение этой задачи существует, единственно и описывается формулами:
,
. (*)
При этом искомая прямая имеет уравнение
.
В написанных формулах
,
,
,
. (**)
Прямая,
являющаяся решением задачи, называется прямой регрессии (игрека на икс).
Говорят также о регрессии икса на игрек. Под этим понимают рассмотренную выше
задачу с той только разницей, что вычисляют прямую с уравнением вида . Решение этой
задачи описывается формулами (*), (**), в которых
и
следует поменять местами.
Другой важной в применениях задачей
является такая: в -мерном
евклидовом пространстве задано множество
из
точек:
,
. Требуется найти уравнение гиперплоскости
(т. е.
найти
)
такое, что функция
имела
минимум в точке .
Оказывается, что искомые числа удовлетворяют следующей системе
линейных уравнений:
,
,
где
,
,
,
,
,
;
.
Задача о нахождении функции вида по заданному множеству
точек
,
также может быть решена М. н. к. Искомые
коэффициенты
удовлетворяют,
как можно доказать, следующей системе линейных уравнений:
,
,
где
,
;
.
Следует заметить, что если класс функций
, среди элементов
которого требуется определить наилучший многочлен, состоит из всех многочленов
степени меньшей или равной
, то решением задачи является функция,
график которой проходит через все заданные точки множества
. Однако такая постановка задачи
зачастую лишена практического смысла.
М. н. к. применяется для нахождения
одной или нескольких величин по результатам измерений, содержащим случайные
ошибки. М. н. к . используется также для приближенного представления заданной
функции другими (более простыми функциями). Пусть для разыскания значения
неизвестной величины произведено
независимых
измерений, давших значения
, т.е.
, где случайные ошибки
являются независимыми случайными
величинами с математическим ожиданием
и дисперсией
. Согласно М. н. к. в качестве величины
берут такое
, для которого будет наименьшей
сумма квадратов:
.
Здесь
. Коэффициент
можно выбрать произвольно.
Для того чтобы сумма
была
наименьшей, необходимо в качестве
выбрать
,
так в простейшем случае применяется М. н. к.
Этот способ применяется и для
приближения функций. Пусть, например, функция задана таблицей значений
,
и пусть задано некоторое
семейство функций
.
Требуется так приблизить функцию
функцией вида
,
чтобы сумма квадратов была
наименьшей. Задача приближения функций по М.н.к. была изучена П. Л. Чебышевым.