МНОГОГРАННИК

МНОГОГРАННИК — тело (или геометрическое тело), граница которого есть объединение конечного числа многоугольников. Граничные многоугольники называются гранями, а их стороны ребрами М. Вершины граней называются вершинами М., а отрезок (или его длина), соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю М. Если М. имеет  граней, то он также называется n-гранником. М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону (в одном полупространстве) от плоскости его любой грани. Или иначе: М. называется выпуклым, если любой отрезок с концами, принадлежащими М., весь содержится в этом М. Следовательно, выпуклый М. есть выпуклая фигура.

М. в известном смысле является пространственным аналогом многоугольника. Если граница М. гомеоморфна сфере, то М. называется простым или М. нулевого рода. Для М. нулевого рода справедлива теорема Декарта — Эйлера (см. Эйлера теорема), связывающая число его вершин, граней и ребер.

Выпуклый М. называется правильным, если у него все грани — правильные конгруэнтные многоугольники и все многогранные углы конгруэнтные. Правильных М. всего пять типов (тела Платона), что было доказано еще в «Началах» Евклида. Выпуклые М., у которых все грани — правильные разноименные (с разным числом сторон) многоугольники, а все многогранные углы конгруэнтны, называются полуправильными (архимедовыми). Существуют еще правильные невыпуклые (звездчатые) М.

См. также: Тело, Род поверхности, Эйлера теорема, Многоугольник, Правильный многогранник, Гомеоморфизм.