МНОГООБРАЗИЕ

МНОГООБРАЗИЕ — геометрическое понятие, обобщающее понятие поверхности без самопересечений и без краев. Определение М. устанавливает однородность строения окрестностей каждой точки многообразия. Кроме того, определение М. носит, так сказать, внутренний характер, т. е. не связано с неким пространством, вмещающим М. в себя, как это имеет место при описании поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

М. размерности  есть хаусдорфово топологическое пространство М. вместе с системой  подмножеств (карт) на нем, объединение которых совпадает с М. При этом для каждого  задан гомеоморфизм , где  — открытый шар евклидова пространства размерности .

М. размерности  называется гладким класса , если для каждых двух карт  и соответствующих им отображений , выполнено условие отображение;  класса , т. е. задается функциями, все частные производные которых порядка  непрерывны.

Говорят также, что набор карт, составляющих множество  (атлас), определяет гладкую структуру на М. При этом два атласа на М. называются эквивалентными, если их объединение задает на М. гладкую структуру класса .

Примеры. 1. Открытая область  в евклидовом пространстве  является М. Атлас на  можно задать, взяв в качестве карт окрестности  некоторых  точек вида , покрывающих  ( — евклидово расстояние между точками).

2. Сфера  в евклидовом пространстве . Атлас на  можно построить, например, следующим образом. Зададим  уравнением , где  — координаты точки  в объемлющем евклидовом пространстве. Назовем точки ,  соответственно северным и южным полюсом сферы . Рассмотрим два подмножества в  (две карты):

, ; .

Отображения ,  зададим с помощью стереографической проекции:  — проекция из северного полюса, а  — из южного. Построенная гладкая структура имеет гладкость класса .

Справедлива теорема (Дж. Уайтхед): всякое компактное М. класса  размерности  может быть вложено в евклидово пространство  так, что индуцируемая этим вложением гладкая структура будет эквивалентна исходной.