МНОГОУГОЛЬНИК

МНОГОУГОЛЬНИК — объединение простой (без самопересечений) замкнутой ломаной и ее внутренней области. Сама ломаная называется границей М. Отдельные звенья ломаной или их длины называются сторонами М., вершины ломаной — вершинами М. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины М., называется его диагональю. Иногда рассматривают пространственные М. как Замкнутые простые ломаные, не лежащие в одной плоскости (неплоские М., одномерные М.), что обычно, как правило, оговаривается в тексте.

Внешняя область М. содержит прямую, целиком расположенную в этой области, внутренняя область никакой прямой не содержит. Иногда М., определение которого давалось через простую замкнутую область, называют также простым или гомеоморфным кругу. Непростой многоугольник иначе называется звездчатым.

М. называется выпуклым, если отрезок, соединяющий две его любые точки, принадлежит этому М. (содержится в нем). Иногда выпуклый М. определяют и так: М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону (в одной полуплоскости) от прямой, содержащей его какую-либо сторону. Сумма величин внутренних углов М. (простого) равна , где  — число сторон. Часто бывает удобно называть М., имеющий  сторон, n-угольником . Число сторон М. равно числу его вершин.

Число диагоналей всякого М. равно числу сочетаний из  по 2 минус число его сторон, т. е. равно .

См. также: Правильный многоугольник, Деление круга, $$Вписанный многоугольник$, Описанные фигуры, Подобные фигуры.