МОДУЛЬ

МОДУЛЬ: 1°. М. действительного числа  (обозначается ) есть неотрицательное число, удовлетворяющее следующему условию: , если , и , если . М. д. ч.  геометрически выражает расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число  на числовой прямой. Из определения М. д. ч. легко выводятся такие соотношения:

; ; ; ; .

Легко усматриваются также соотношения:

;

.

Понятие М. д. ч. часто используется при решении уравнений и неравенств, при построении графиков функций и графиков уравнений с двумя переменными. Определить М. д. ч. можно и иначе: , т. е. модуль числа  есть максимальное из двух чисел  и , или еще .

2°. М. комплексного числа  (обозначается ) есть неотрицательное число, равное: , откуда получаем: .

М. к. ч. выражает расстояние от начала отсчета до точки, изображающей комплексное число  на комплексной плоскости. Аналогично рассматривают понятие модуля функции . Понятие модуля используется при рассмотрении сходимости и расходимости рядов (см. Абсолютно сходящийся ряд), при изучении предела функции, при оценке погрешности в действиях с приближенными числами.

Примеры. 1) Множество решений уравнения  есть  (пустое множество). 2) Множество решений уравнения  есть , т. е. . Решение уравнения  есть числовой промежуток . 4) Решение неравенства  есть , т. е. множество всех действительных чисел. 5) Множеством решений уравнения  является множество, состоящее из двух чисел  и , т. е. .

Графики функций: а) , б)  изображены на рисунке 11, а и б; графики уравнений: а) , б) , в)  показаны на рисунке соответственно 11, в, г, д.

Рис. 11

Множество точек комплексной плоскости, для которых выполняется условие , есть множество точек этой плоскости, заключенных между двумя концентрическими окружностями (кольцо), имеющими центр в начале координат и радиусы, равные 2 и 3 единицам длины (рис. 11, е). Модуль функции , где , будет равен: , где число  — основание натуральных логарифмов (см. е-Число).

М. числа (комплексного и, в частности, действительного) иначе называется абсолютной величиной его.

3°. М. перехода от системы логарифмов при основании  к системе логарифмов при основании   — число . Если известны логарифмы при основании , то, умножая их на число  (М. п.), получим логарифмы при основании , т. е. . Например, М. п. от десятичных логарифмов к натуральным равен: , М. п. от натуральных логарифмов к десятичным равен: .

4°. М. сравнения в теории чисел — всякое натуральное число , на которое делится разность двух целых чисел  и , т. е. если , что записывают так: , читается:  сравнимо с  по модулю .

5°. М. над кольцом  — аддитивно записанная абелева группа  вместе с отображением , записываемым  и таким, что для любых элементов  и  удовлетворяются следующие аксиомы:

Абелева группа  в этом случае называется левым R-модулем. Аналогичное определение дается правому R-модулю . Кольцо  при этом называется часто кольцом скаляров, а его элементы — скалярами.

Иногда левый R-модуль  или правый R-модуль  называют проще: R-модуль  или еще проще: модуль. Кратко левый R-модуль  часто обозначают , а правый — .

Понятие М. н. к. является одним из фундаментальных и обобщающих в алгебре.

Примеры. 1. Любой идеал  кольца  является R-модулем; в частности, само кольцо  есть R-модуль.

2. Любая абелева группа  является Z-модулем, так как отображение  из  в  удовлетворяет всем аксиомам М1-М4 ( всего  раз).

3. Если кольцо  является полем , то R-модуль есть векторное пространство над . Таким образом, векторное пространство есть частный случай понятия модуля. В зависимости от свойств кольца и дополнительных ограничений, налагаемых на М. н. к., рассматриваются различные множества модулей.