- МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
- МАЖОРАНТА
- МАКЛОРЕНА РЯД
- МАКСИМУМ ФУНКЦИИ
- МАНТИССА
- МАРКОВА НЕРАВЕНСТВО
- МАРКОВА ПРОЦЕССЫ
- МАРКОВА ЦЕПИ
- МАСКЕРОНИ ПОСТРОЕНИЯ
- МАТЕМАТИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ
- МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
- МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ
- МАТРИЦА
- МАТРИЦА КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
- МАТРИЦА СИСТЕМЫ
- МЕДИАНА
- МЕДИАТРИСА ОТРЕЗКА
- МЕЖДУ ЛЕЖАТЬ
- МЕНЕЛАЯ ТЕОРЕМА
- МЕНЬЕ ТЕОРЕМА
- МЕРА МНОЖЕСТВА
- МЕРАНСКАЯ ПРОГРАММА
- МЕРОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ
- МЕРСЕННА ЧИСЛА
- МЕТОД ГРАНИЦ
- МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
- МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
- МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
- МЕТРИКА
- МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
- МЕЦИЕВО ЧИСЛО
- МЁБИУСА ЛИСТ
- МЁБИУСА ФУНКЦИЯ
- МИКРОКАЛЬКУЛЯТОР
- МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
- МИНИМУМ ФУНКЦИИ
- МИНКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО
- МИНОР
- МИНУС
- МИНУТА
- МНИМАЯ ЕДИНИЦА
- МНИМАЯ ЧАСТЬ
- МНИМОЕ ЧИСЛО
- МНОГОГРАННИК
- МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ
- МНОГОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ
- МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
- МНОГООБРАЗИЕ
- МНОГОСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ
- МНОГОУГОЛЬНИК
- МНОГОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- МНОГОЧЛЕН
- МНОГОЧЛЕН ДЕЛЕНИЯ КРУГА
- МНОГОЧЛЕН НУЛЕВОЙ СТЕПЕНИ
- МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
- МНОЖЕСТВО
- МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
- МНОЖИТЕЛЬ
- МОДЕЛЬ
- МОДЕЛЬ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
- МОДУЛЬ
- МОЛЬВЕЙДЕ ФОРМУЛЫ
- МОМЕНТ
- МОНОТОННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
- МОНОТОННО ВОЗРАСТАЮЩАЯ
- МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД
- МОРА-МАСКЕРОНИ ПОСТРОЕНИЯ
- МОРГАНА (де МОРГАНА) ЗАКОНЫ
- МОРЛИ ТЕОРЕМА
- МОРСА ТЕОРИЯ
- МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
- МУАВРА ФОРМУЛА
- МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА
- МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
МОДУЛЬ
МОДУЛЬ: 1°. М. действительного числа (обозначается
) есть неотрицательное
число, удовлетворяющее следующему условию:
,
если
, и
, если
. М. д. ч.
геометрически выражает
расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число
на числовой прямой. Из определения
М. д. ч. легко выводятся такие соотношения:
;
;
;
;
.
Легко усматриваются также соотношения:
;
.
Понятие М. д. ч. часто используется при
решении уравнений и неравенств, при построении графиков функций и графиков
уравнений с двумя переменными. Определить М. д. ч. можно и иначе: , т. е. модуль числа
есть максимальное из двух чисел
и
, или еще
.
2°. М. комплексного числа (обозначается
) есть неотрицательное
число, равное:
,
откуда получаем:
.
М. к. ч. выражает расстояние от начала
отсчета до точки, изображающей комплексное число на комплексной плоскости. Аналогично
рассматривают понятие модуля функции
. Понятие модуля используется при
рассмотрении сходимости и расходимости рядов (см. Абсолютно сходящийся
ряд), при изучении предела функции, при оценке погрешности в действиях с
приближенными числами.
Примеры. 1) Множество
решений уравнения есть
(пустое
множество). 2) Множество решений уравнения
есть
, т. е.
. Решение уравнения
есть числовой промежуток
. 4) Решение неравенства
есть
, т. е. множество всех
действительных чисел. 5) Множеством решений уравнения
является множество, состоящее из
двух чисел
и
, т. е.
.
Графики функций: а) , б)
изображены на рисунке 11, а и б;
графики уравнений: а)
,
б)
, в)
показаны на рисунке
соответственно 11, в, г, д.
Рис. 11
Множество точек комплексной плоскости,
для которых выполняется условие , есть множество точек этой плоскости,
заключенных между двумя концентрическими окружностями (кольцо), имеющими
центр в начале координат и радиусы, равные 2 и 3 единицам длины (рис. 11, е).
Модуль функции
,
где
, будет равен:
, где число
— основание
натуральных логарифмов (см. е-Число).
М. числа (комплексного и, в частности, действительного) иначе называется абсолютной величиной его.
3°. М. перехода от системы
логарифмов при основании к системе логарифмов при основании
— число
. Если известны логарифмы при
основании
, то,
умножая их на число
(М.
п.), получим логарифмы при основании
, т. е.
. Например, М. п. от десятичных логарифмов к
натуральным равен:
,
М. п. от натуральных логарифмов к десятичным равен:
.
4°. М. сравнения в теории чисел
— всякое натуральное число , на которое делится разность двух целых
чисел
и
, т. е. если
, что записывают
так:
, читается:
сравнимо с
по модулю
.
5°. М. над кольцом — аддитивно
записанная абелева группа
вместе с отображением
, записываемым
и таким, что для любых
элементов
и
удовлетворяются
следующие аксиомы:
Абелева группа в этом случае называется левым R-модулем.
Аналогичное определение дается правому R-модулю
. Кольцо
при этом называется часто кольцом скаляров, а его элементы — скалярами.
Иногда
левый R-модуль или правый R-модуль
называют проще: R-модуль
или еще проще: модуль.
Кратко левый R-модуль
часто обозначают
, а правый —
.
Понятие М. н. к. является одним из фундаментальных и обобщающих в алгебре.
Примеры. 1. Любой идеал кольца
является R-модулем; в
частности, само кольцо
есть R-модуль.
2.
Любая абелева группа является Z-модулем, так
как отображение
из
в
удовлетворяет
всем аксиомам М1-М4 (
всего
раз).
3.
Если кольцо является полем
, то R-модуль есть
векторное пространство над
. Таким образом, векторное пространство
есть частный случай понятия модуля. В зависимости от свойств кольца и
дополнительных ограничений, налагаемых на М. н. к., рассматриваются различные
множества модулей.