НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ: 1°. Н. о. д. нескольких натуральных чисел  есть наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. чисел 16 и 24 есть число 8, что часто записывают так: (16; 24) = 8, или Н. о. д. (16; 24) = 8, или еще короче: , где  означает «делитель».

Понятие Н. о. д. используется при сокращении дробей. Для отыскания Н. о. д. нескольких чисел надо разложить их на простые множители и составить произведение из общих множителей в наименьших степенях. Так, , , следовательно Н. о. д. данных чисел будет равен: .

При отыскании Н. о. д. двух чисел в общем случае пользуются алгоритмом Евклида. Если Н. о. д. двух чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми. Произведение Н. о. д.  и наименьшего общего кратного этих чисел равно произведению .

2°. Н. о. д. многочленов  — такой общий делитель многочленов , который делится на всякий другой их общий делитель. Н. о. д. многочленов определяется однозначно с точностью до множителя нулевой степени. Н. о. д. многочленов часто записывают символом . Практическое отыскание Н. о. д. многочленов  в кольце многочленов от одной переменной  производится с помощью последовательного применения алгоритма Евклида. Одно из важных свойств Н. о. д. многочленов, имеющее приложения к другим вопросам, состоит в том, что если , то существуют многочлены  такие, что будет выполняться равенство

.

Н. о. д. имеет смысл и в кольце главных идеалов, и в факториальном кольце.

См. также: Наименьшее общее кратное, Делитель целого числа.