НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ

НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ — выражение вида

где — любое целое число (не обязательно положительное), — натуральные числа, называемые неполными частными или элементами данной Н. д. Н. д. кратко обозначается так: или в зависимости от того, конечная ли Н. д. или бесконечная.

Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д., иррациональное же число представляется в виде бесконечной Н. д. (т. е. как предел последовательных конечных непрерывных дробей); эти разложения единственны, при этом квадратические иррациональности разлагаются в периодические Н. д. (см. Лагранжа теорема), например: Н. д. , , записанная в виде несократимой дроби , называется подходящей дробью порядка . Числитель и знаменатель подходящей дроби связаны рекуррентными формулами:

, .

Для каждой бесконечной H. д. существует единственный предел:

который называется значением этой Н. д. Н. д. используется для приближений иррациональных чисел рациональными — подходящими дробями. Например, приближенные значения числа есть подходящие дроби 22/7 и 355/113. Французский математик Лиувилль доказал, что если — алгебраическое число степени , то можно подобрать такую постоянную , что для любой рациональной дроби будет выполняться неравенство . Н. д. также называют и выражение вида:

которое обозначают кратко, так: . Дробь называется п-м звеном Н. д., и — членами п-го звена Н. д., а числа — частными числителями Н. д., а числа — частными знаменателями Н. д.