НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ

НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ в точке   — функция , удовлетворяющая условию: для любого  найдется такое , что для всех точек  , подчиняющихся условиям: , , выполняется неравенство . Другими словами,  непрерывна в точке , если при стремлении  выражение  стремится к . Функция, непрерывная в каждой точке множества , называется Н. ф. на множестве .

График Н. ф. одного переменного на связном множестве есть непрерывная линия, которая, однако, может сильно отличаться от наивного представления о непрерывной кривой. Так, существуют Н. ф., нигде не имеющие производной. Их графики представляют собой непрерывные кривые, нигде не имеющие касательной. Пример такой функции впервые был построен немецким математиком К. Вейерштрассом.

Н. ф. обладают, многими важными свойствами: Н. ф. на компактном множестве достигает своего наименьшего и наибольшего значения; сумма, разность, произведение. Н. ф. есть Н. ф.; суперпозиция Н. ф. также является Н. ф. (см. также Ролля теорема). Всякую Н. ф.  на отрезке  с любой степенью точности можно приблизить многочленом (теорема Вейерштрасса). Н. ф. на компактном множестве является равномерно непрерывной. Все эти свойства придают особую важность Н. ф. для многих разделов математики.

По классификации Бэра Н. ф. относятся к нулевому классу. В более абстрактной форме Н. ф. рассматриваются не только на множествах в пространстве переменных , но и на произвольном множестве топологического пространства. Примеры: все многочлены, а также функции , ,  являются Н. ф. на всей числовой прямой; функция  непрерывна всюду, кроме точек , , где она не определена;  непрерывна во всей области определения ,   непрерывна на всей прямой, однако в точке  не имеет производной.